🪩 Üç Noktası Verilen Üçgenin Alanı

aMs6jsK. EğitimÜçgende Ağırlık Merkezi Özellikleri Nelerdir?Geometrik şekil, her biri farklı özelliklere sahip olan cisimlere verilen isimdir. Matematik alanı içerisinde yer alan geometri, geometrik şekilleri işler. Geometrik şekillerden karşımıza en sık çıkanlar arasında üçgen yer alır. Üçgenin belirli bir ağırlık merkezi ve kendine ait özellikleri vardır. Peki üçgende ağırlık merkezi nedir? Ağırlık merkezi özelikleri nelerdir? İşte, merak edilen tüm detayları sizler için - 0244 Son Güncellenme - 0244 Güncelleme - 0244Üçgen, adından da anlaşıldığı gibi 3 kenarı bulunan şekle verilen isimdir. Kenar uzunlukları eşit olabileceği gibi birbirinden farklı da olabilir. Ancak üçgen, ister eşkenar üçgen olsun, ister dik üçgen olsun mutlaka bir ağırlık merkezine sahiptir. Üçgende Ağırlık Merkezi Özellikleri Nelerdir? Üçgende, diğer geometrik şekiller gibi kendine has özellikler barındırır. En önemli ve şekli almasında etken olan özelliği ise kenar sayısıdır. Bir diğer özelliği ise üçgende ağırlık merkezi bulunmasıdır. Üçgen ağırlık merkezinin ne olduğunu açıklayacak olursak; kenarortayların kesiştiği nokta diyebiliriz. Üçgende, 3 kenar bulunduğu için 3 ayrı kenarortay bulunur. Bu kenarortaylar ise üçgeni her bir kenarına eşit olan uzaklığında birleşir. Yani ağırlık merkezinde birleşir. Üçgenin ağırlık merkezinin başlıca özelliği ise üçgenin ağırlık merkezini oluşturan kenarortaylardan biri aynı zamanda üçgenin yüksekliğidir. Üçgende ağırlık merkezi G harfi ile gösterilir. Bir diğer önemli özelliği ise üçgende ağırlık merkezi üçgeni 6 eşit parçaya böler. Ağırlık merkezinin etrafı 365 derece tam açı oluşturur. Ağırlık merkezini oluşturan kenarortaylar her zaman eşit olmayabilir. Ağırlık merkezine gelen kenarortaylar aynı zamanda köşelere birleştirildiğinde üçgeni 3 eşit parçaya böler ve alan hesaplamada yardımcı olur. Ayrıca üçgen ağırlık merkezi kenarortayı, köşelere 2 birim ve kenara 1 birim olacak şekilde böler. Ağırlık merkezi üçgenin tam orta noktasıdır. Basitten başlayalım üçgen, üç kenarı kenarlar doğru parçası’dır, üç köşesi kenarların birleştiği noktalar olan kapalı bir şekildir. Aynı zamanda toplamları derece olan üç iç açısı büyüklüklerine göre üçgenleri sınıflandırabiliriz Bir __dik açılı üçgen__in yalnız bir dik açısı vardır. Bir __geniş açılı üçgen__in yalnız bir geniş açısı vardır. Bir __dar açılı üçgen__in dar açısı vardır. Kolay lık olsun diye üçgenleri genelde benzer şekillerde işaretleriz. Köşeler ilk üç büyük harf A, B ve C, kenarlar ilk üç küçük harf a, b ve c ve açılar Yunan harfleri α, β ve γ “alpha”, “beta” ve “gamma” ile köşesinin karşısındaki kenar a, A köşesindeki açı α ile işaretlenir. Aynı işaretlendirme B/b/β ve C/c/γ için de geçerlidir. Medyanlar Kenarlarının orta noktaları işaretlenmiş bir üçgen üçgende bir köşe ile karşısındaki orta noktayı birbirlerine bağlayan doğru parçasına medyan denir. Bu üçgenin üç medyanını da çizin. Üçgenin köşelerini hareket ettirince ne oluyor? Öyle görünüyor ki medyanlar hep . Bu noktaya ağırlık merkezi diyoruz. Medyanlar birbirlerini her zaman 21 oranıyla keserler. Üç medyan için de köşeden ağırlık merkezine olan uzaklık ağırlık merkezinden orta noktaya olan uzaklığın hep Bir kartona bir üçgen çizin, kesip çıkarın ve üç medyanı da bulun. Eğer düzgün kesip medyanları da düzgün çizerseniz ağırlık merkezine bir kalem koyduğunuzda üçgeni bu kalemin üzerinde dengeli bir şekilde taşıyabilirsiniz ya da tam ağırlık merkezine yapıştırdığınız bir iple odanızın tavanına yere tam paralel olacak şekilde olmasının sebebi ağırlığın bu merkez etrafında dağılmış olmasıdır. Fizikte de bu noktaya ağırlık merkezi merkezinden geçen bir doğru üçgeni alanları birbirlerine eşit olan iki parçaya ayırır. Sağdaki animasyonda mavi noktayı hareket ettirin. Kırmızı ve yeşil bölgelerin alanları birbirlerine eşit Doğru ve Çevrel Çember Herhangi bir doğrunun ona dik doğrusu demek o doğru ile nda dik açı yapan doğru üçgenin kenarlara dik olan doğrusunu çiziniz. Kenara dik doğruyu çizmek için bir uç noktadan diğerine sürükleyerek bir doğru çiziniz. Daha önce de olduğu gibi bu üç dik doğru bir noktada kesişiyorlar. Bu noktanın bir özelliği var. Dik doğrunun üzerindeki bir noktaya dik doğrunun kesiştiği kenarın üzerindeki köşelerden çizilmiş iki doğrunun uzunlukları aynıdır. Örneğin, mavi dik doğru üzerindeki bir noktanın A ve C noktalarına uzaklıkları eşit. Kırmızı dik doğru üzerindeki bir noktanın noktalarına uzaklığı eşittir. Kesişim noktası bütün dik doğruların üzerindedir. O zaman üçgenin olan uzaklıkları eşittir. Bu demek oluyor ki bütün köşelere dokunan bir çember çizebiliriz. Bu çembere üçgenin çevrel çemberi diyoruz. Merkezi ise üç dik doğrunun kesişimi oluyor ve çevrel merkez diye adlandırılıyor. Aslında, herhangi üç nokta verildiğinde bu üç noktanın orta noktalar olduğu bir üçgen çizilip daha sonra bu üç noktanın üzerinde olduğu kenarlara dik doğrular çizildikten sonra bu üç doğrunun kesişim noktasını merkez kabul eden ve üçgenin köşelerine değen bir çember çizilebilir. Tabi eğer başta verilen üç nokta ise bu yapılabilir.Açı Ortaylar ve İç Teğet ÇemberMuhtemelen şu an şuna takıldınız bir yapı alıyoruz, kenarlara/açılara üç kez bir şeyler yapıyoruz ve daha sonra kesişimlerin ne gibi özellikleri var onlara bakıyoruz. Bir açı iki ayrı eş parçaya bölen doğrulara açı ortay diyoruz. Yandaki üçgenin açı ortaylarını çiziniz. Bir açı ortay çizmek için açıların bulunduğu köşeler ile ortadaki nokta arasında bir çizgi çizmeniz gerekir. Yeniden hatırlatalım, üç doğru tek bir noktada kesişir. Böyle bir şeyi doğal karşılıyoruz ama aslında bunun olması için elimizde geçerli bir sebep yok - üçgenler yalnızca özel şekillerdir. Açı ortayın üzerindeki herhangi bir noktanın, açıyı oluşturan iki kenara olan uzaklıkları eşittir. Örneğin, mavi doğrunun üzerindeki bir nokta a ve c kenarlarına eşit uzaklıkta bulunmakta. kırmızı doğrunun üzerindeki bir nokta kenarlarına eşit uzaklıkta bulunmakta. Kesişim noktası bütün açı ortayların üzerindedir. Yani üçgenin üç olan uzaklıkları birbirlerine bu kesişim noktası çevresinde kenarlara dokunan bir çember çizebiliriz. Bu çembere iç teğet çember, bu çemberin merkezine ise iç teğet merkezi diyoruz. Alan ve Yükseklikler Bir dikdörtgenin alanını bulmak kolay yükseklik ve genişliği çarparak bulabiliyoruz. Bir üçgenin alanını bulmaksa nispeten daha zordur. Bir dikdörtgenin içine üçgen “yerleştirmek” ile başlayalım. Dikdörtgenin genişliği üçgenin alt kenarı oluyor taban diye adlandırılır.. Dikdörtgenin yüksekliği üçgenin tabanına karşısındaki köşeden uzatılmış dik yükseklik oluyor. Yükseklik üçgeni iki parçaya ayırır. Yükseklik tarafından iki ayrılmış dikdörtgendeki üçgenden farklı alanların üçgendeki alanlar ile aynı olduğunu gözlemleyebiliriz. Artık dikdörtgenin alanı ile uğraşabiliriz. Yani üçgenin alanı dikdörtgenin alanının yarısı olacak A=12× taban × yükseklik Bir üçgenin alanını hesaplamak için herhangi bir kenarını taban olarak düşünüp o kenarın karşısındaki köşeden tabana yükseklik çizdikten sonra bu yükseklik tabana yüksekliğin uzunluğu ile tabanın uzunluğunun çarpımının yarısını almak yeterli olacaktır. Üçgenlerde bu yükseklikler genelde uzunluk diye adlandırılırlar. Bir üçgende üç tane vardır. Tıpkı medyanlar, dik doğrular ve açı ortaylar konusunda olduğu gibi bu üç uzunluğun kesiştikleri bir nokta vardır. Bu noktaya yükseklik merkezi açılı üçgenlerde yükseklik merkezi üçgenin Geniş açılı üçgenlerde yükseklik merkezi üçgenin Dik açılı üçgenlerde yükseklik merkezi üçgenin İki uzunluk aslında üçgenin iki kenarıdır. Oluşturulma Tarihi Mart 03, 2022 0200Üçgen geometrik şekiller arasında yer alan iki boyutlu şekil örneğidir. Birbirine doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimi bir düzlem üzerinde yer alır ve buna üçgen denir. Bu yüzden de düzlem geometrisinin temel şekillerinden bir tanesidir. Dolayısıyla üçgenin tanımından da anlayacağımız gibi üç tane köşesi vardır. Bu köşeleri birleştiren doğru parçaları vardır. Bu doğru parçaları da üç tanedir ve kenar olarak isimlendirilmektedir. Üçgende ağırlık merkezi özellikleri nelerdir, ağırlık merkezi nasıl bulunur detayları ile derslerinde üçgen şekliyle ilgili çok sayıda soru çözülmektedir. Üçgenle ilgili sorular eğitim hayatında geometri alanının konusunu oluşturmaktadır. Matematik eğitimi almış insanlar tıpkı üçgende ağırlık merkezi konusu gibi diğer konuları da mutlaka bilmektedir. Üçgen geometri alanında ayrı bir kategoriyi oluştururken kare, dikdörtgen, daire, çember gibi geometrik şekillerde temel geometrik şekiller Ağırlık Merkezi Özellikleri Nelerdir?Üçgende ağırlık merkezinin özelliklerine geçmeden önce ilk olarak üçgende ağırlık merkezinin ne olduğunu kavramak kenar ortay denilen alanlar bulunur. Bir kenarın orta noktasını karşı köşeye birleştiren doğru parçasına kenar ortay denmektedir. İşte bu kenar ortayların kesiştiği noktaya da üçgenin ağırlık merkezi denir. Bu ağırlık merkezi G harfiyle ABC üçgeni düşünelim. Bu üçgende [AD], [BE] ve [CF] kenar ortay doğru parçaları bulunur. Bu parçaların kesiştiği nokta G noktası olup ağırlık merkezi olarak şekil denilen terim farklı özelliklere sahip olan cisimlerdir. Geometri alanı matematik biliminin içinde yer alarak bu şekilleri konu edinmiştir. Üçgen ise geometri alanında en sık karşılaşılan şekildir. Belirli bir ağırlık merkezi ve kendine has özellikleri bulunur. İşte üçgende ağırlık merkezi özellikleri şöyle sıralanmaktadır;Kenar ortayların kesiştiği nokta ağırlık üç adet kenar olmasından dolayı üç adet kenar ortay ortayların her bir tanesi üçgene eşit uzaklıkta merkezi bir birleşme yüksekliğini veren ise üçgenin ağırlık merkezini oluşturan kenar ortay doğrularından merkezi G harfiyle altı eşit parçaya bölen üçgenin ağırlık derece tam açı üçgenin ağırlık merkezinin çevresini meydana ağırlık merkezini oluşturan kenar ortay doğru parçaları her zaman eşit ortay doğru parçaları ağırlık merkezinde birleştiğinde köşeleri de birleştirir ve üçgeni üç eşit parçaya böler. Bu durum alan hesaplamalarında tam orta noktası ağırlık merkezidir. Çünkü kenar ortay köşelere iki birim kenara da bir birim olacak şekilde üçgeni Merkezi Nasıl Bulunur?Bir ABC üçgeni düşünelim. Bu ABC üçgeninin ağırlık merkezi G olarak gösterilir. G ağırlık merkezini bulmak için kenar ortay doğru parçalarının üçgeni ikiye bir oranında böldüğünü kesin bilmek gerekmektedir. Dolayısıyla bir ABC üçgeninde;AG =2GFBG =2GDCG =2GEİki kenara ait kenar ortay doğru parçasının kesim noktası ağırlık merkezidir. Üçüncü kenarda bu ağırlık merkezinden geçmek zorundadır. G noktası BD kenar ortay doğru parçasını ikiye bir oranında bölüyorsa ağırlık merkezi demektir. İkiye denilen yere 2k verilir. Bir oranı denilen alana da k verilir. Bu iki harfin ikiye bir oranındaki noktasına da G şekillerden örnekler ışığında G noktasını görebilirsiniz. Ağırlık merkezinin nasıl bulunduğunun mantığını anlattıktan sonra bir örnek verelim;Örnek 1G merkezi ABC üçgeninin ağırlık merkezidir. BD uzunluğu 8 cm dir. EC uzunluğu 4 cm dir. AF uzunluğu 5 cm dir. ABC üçgeninin çevresi kaç cm dir?ÇözümBD ve DC uzunlukları birbirlerine eşittir. Çünkü G ağırlık merkezidir. Bu uzunluklar ise 8 cm dir. EC ve AE uzunlukları da eşittir ve uzunlukları 4 cm dir. AF ve BF uzunlukları eşittir ve uzunlukları 5 cm dir. Bu bilgiler doğrultusunda ABC üçgeninin çevre uzunluğu 34 cm olmaktadır. Bu mesaj 'en iyi cevap' seçilmiştir. ÜÇGENDE ALANSponsorlu Bağlantılar 1. Genel Alan Bağıntısı ABC üçgeninde [BC] kenarına ait yükseklik [AH] Bir üçgenin alanı, bir kenarı ile o kenara ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır. Hangi kenarı kullanırsak kullanalım üçgenin alanı sabittir . Bir ABC üçgeninde yükseklik her zaman üçgenin içinde olmayabilir. 2. Dik Üçgende Alan Dik üçgenin alanı dik kenarlarının çarpımının yarısına eşittir. 3. Bir açısı ve bu açının kenarları bilinen üçgenin alanı; ABC üçgeninde mABC = a AB = c BC = a a. Birbirini 180° ye tamamlayan açıların sinüsleri eşit olduğundan; eşitliği vardır. b. BC = a AB = c uzunlukları sabit olan ABC üçgeninin alanının maksimum olabilmesi için a = 90° olmalıdır. c. Hipotenüs uzunluğu sabit olan ABC dik üçgeninin alanının en büyük değerini alabilmesi için AB = AC olmalıdır. ABC üçgeni ikizkenar dik üçgen olmalıdır. 4. Üç kenarının uzunluğu verilen üçgenin alanı; ABC üçgeninin çevresi ÇevreABC = a + b + c Çevrenin yarısına u dersek 5. Çevresi ve iç teğet çemberinin yarıçapı verilen üçgenin alanı; ABC üçgeninin iç teğet çemberinin yarıçapı r olsun. Bu üç alanı toplayarak ABC üçgeninin alanını bulabiliriz. AABC= Bir ABC üçgeninde iç teğet çemberin yarıçapı r ve yükseklikler ABC dik üçgeninde AABC = BD.DC 6. Kenarları ve çevrel çemberinin yarıçapı verilen ABC üçgeninin çevrel çemberinin merkezi O ve yarıçapı R olsun. Orta Dikme Üçgenin kenarının orta noktasından çizilen dik doğrulara orta dikme denir. [EA, a kenarının [FO, b kenarının [DO, c kenarının orta dikmeleridir. O noktası çevrel çemberin merkezidir. 7. Yükseklikleri eşit üçgenlerin alanları arasındaki bağıntı; Yükseklikleri eşit üçgenlerin alanlarının oranı tabanlarının oranına eşittir. ABC ve ACD üçgenlerinin tabanları aynı doğru üzerinde ve tepe noktaları aynı noktada olduğuna göre, yükseklikleri eşittir. 8. Tabanları eşit üçgenlerin alanlarının oranı yüksekliklerinin oranına eşittir. ABC ve DBC üçgenlerinin tabanları eşit ve çakışıktır. kaynak

üç noktası verilen üçgenin alanı